Rod Cross, a proposito dell’effetto della tensione delle corde di una racchetta da tennis sulla velocità del rimbalzo e l’accuratezza del colpo, scrive1:
«La variazione nella velocità del rimbalzo tra bassa e alta tensione è stata per tutti i partecipanti di circa il 3%, un valore in linea con le stime teoriche. La velocità della palla dopo l’impatto con le corde (v) è data da:
v = eA * vin + (1 + eA)Vr
Dove vin è la velocità della palla in arrivo, Vr è la velocità della testa della racchetta nel punto di impatto e eA è il coefficiente di restituzione apparente2. Con una tensione delle corde di 280 N, il coefficiente di restituzione apparente è generalmente di circa 0.4 per un impatto al centro delle corde. Se la tensione delle corde viene ridotta del 20%, a 224 N, il coefficiente di restituzione apparente aumenta di circa il 7%, diventando 0.433. Con velocità realistiche di racchetta e palla, il risultato è un incremento della velocità della palla di circa il 2 o il 3% per una risposta, e inferiore all’1% in un servizio (dove vin = 0). In termini generali, la racchetta con tensione 230 N ha prodotto il minore numero di errori in totale, con circa tre quarti delle palle colpite finite con successo in campo. Al contrario, la racchetta 180 N ha prodotto il numero maggiore di errori, con solo due terzi di palle in campo e la percentuale più alta di palle finite lunghe (17%). La racchetta 280 N ha prodotto risultati tra quelli delle racchette con bassa e media tensione delle corde, ma ha causato un numero inferiore in modo significativo di palle lunghe (7%) e una quantità maggiore di palle che si sono fermate sulla rete (18%).»
Mentre osservo il fermoimmagine di Roger Federer che sta per lasciare andare il rovescio a una mano, mi chiedo se Federer abbia mai speso più di un minuto a pensare alla tensione ideale delle corde della sua racchetta o se, fin da quando ha iniziato, fosse un concetto talmente banale da potersi permettere di farlo sparire sullo sfondo di altre, ben più eccitanti, preoccupazioni: vincere e continuare a farlo, per esempio. Nel documentario Stroke of Genius, Federer dice di non essere sicuro che il suo obiettivo sia mai stato quello di giocare in modo elegante e bello. Voleva solo vincere, quello è lo scopo se giochi a tennis. È interessante notare come ogni aspetto del tennis si possa sviluppare attorno a una questione di fisica, e anche se il motivo per il quale guardare giocare Federer restituisca un’idea di eleganza e bellezza sfugge a Federer stesso, o in ogni caso non lo appassiona poi molto, mi chiedo se Rod Cross non abbia una formula per calcolare anche questo aspetto del suo gioco.
A me il tennis interessa in modo marginale. Intendo il gioco con le sue regole e i risultati delle partite. Per cominciare, guardo il tennis solo quando in campo c’è Roger Federer. Ho provato ad avvicinarmi ai tornei e alle partite in termini di vittoria e sconfitta, ma quando guardo il tennis finisco sempre per chiedermi quali formule ed esperimenti ci siano dietro servizi, risposte, discese a rete e passanti, e questi pensieri scorrono insieme ai giocatori sul campo come il codice di Matrix.
C’è chi definisce Roger Federer il più grande giocatore di tutti i tempi; David Foster Wallace ne ha scritto come di un’esperienza religiosa. E sia chiaro: dopo DFW, è assolutamente vietato scrivere di tennis e soprattutto di Federer. Non è una legge o che so io; non si può fare e basta.
Ho iniziato a leggere di tennis e di fisica del tennis dopo aver visto giocare Federer per la prima volta. C’era qualcosa che proprio non riuscivo a mettere a fuoco. Era sospeso tra il suo modo di muoversi in campo, la varietà dei colpi, l’ampiezza degli angoli e il modo in cui il corpo si avvicinava a ogni impatto con la palla disegnando linee nello spazio che esistevano e avevano senso indipendentemente dalle regole del gioco. Ma non era solo questo, e non era neanche riconducibile ad alcuni o tutti questi elementi. Ero attratto da qualcos’altro, qualcosa che richiedeva tempo e un secondo sguardo per essere isolato. Leggere di fisica del tennis può essere molto noioso, senza una grande passione per il tennis e la fisica; io ero spinto dal desiderio di individuare quell’elemento infrasottile4 che sfuggiva alla percezione e che aveva bisogno di essere costruito per poter emergere a livello cosciente.
«Qual è il peso ideale di una racchetta per ottenere la massima potenza possibile5? Gran parte dei giocatori di alto livello usa una racchetta moderatamente pesante, di circa 340 grammi. È il peso ideale per ottenere la massima potenza, o un compromesso tra potenza e controllo o manovrabilità? Un semplice calcolo suggerisce che il peso ideale, dal punto di vista della potenza dei colpi, dovrebbe essere la media geometrica tra il peso della palla e il peso del braccio del giocatore.
Esempio: una palla da tennis pesa 57 grammi, un braccio circa 2000. La media aritmetica di questi due pesi è 2057/2 = 1028 grammi, decisamente troppo pesante per una racchetta. La media geometrica ci dà una risposta più sensata. Moltiplicando i due valori, si ottiene 2000 x 57 = 114000 grammi quadrati. La radice quadrata di 114000 è 337,6 grammi. Questa è la media geometrica e, ipotizzando che il vostro braccio pesi 2000 grammi, potrebbe essere il peso ideale della vostra racchetta per ottenere la maggiore potenza possibile. Una racchetta di 337,6 grammi è 5,92 volte più pesante di una palla da tennis di 57 grammi, e un braccio di 2000 grammi è 5,92 volte più pesante di una racchetta di 337,6 grammi.»
La racchetta ideale, sempre supponendo che il braccio di riferimento pesi 2000 grammi, è dunque 16.07 volte più pesante dell’anima.
Semifinale di Wimbledon 2019. Dopo sette minuti dall’inizio del set, Federer è al servizio. Qui metto in pausa la registrazione per la prima volta, subito dopo l’impatto con la palla. È un servizio a uscire che sembra poter restare in campo. Nadal ha il peso tutto spostato sulla gamba destra, ed è pronto a muoversi il più possibile fuori dal campo per rispondere con un rovescio incrociato. Federer è in perfetto equilibrio nonostante abbia appena terminato di servire. Un solo piede appoggiato a terra, ma completamente in asse. Il servizio non è potentissimo ma è molto tagliato; Nadal riesce a rispondere con i piedi quasi due metri lontani dalla linea laterale. Federer si muove in avanti e il fermoimmagine che segue lo vede esattamente al centro del campo. Con la linea centrale che lo divide in due metà uguali. Immagino che stia andando a rete per chiudere il punto qui. Non ce n’è bisogno, la palla si ferma sul nastro e ricade nella metà campo di Nadal. 15-0. Continuo a mettere in pausa la registrazione della partita, e frame dopo frame rimango impressionato dal modo non del tutto umano con il quale il gioco di Federer si sviluppa, attorno a dinamiche che sfuggono all’occhio. Il gioco di Federer corre veloce e richiede di essere guardato una seconda volta e poi ancora. Mettere in pausa una registrazione non basta, ci vorrebbe una macchina in grado di registrare l’invisibile. Forse è in una vibrazione dell’aria che si nasconde il segreto di Federer.
«La frequenza di vibrazione di una racchetta dipende dalla rigidità del telaio. Una racchetta rigida vibra a 180 Hz o più, mentre una flessibile a 140 Hz o meno.6»
Guardo giocare Federer come se stessi guardando arte contemporanea. Il monumentale minimalismo di Ryoji Ikeda, con matematica e strutture algoritmiche, informazioni che si fondono con audio-ambienti elettronici per restituire un prodotto che trascende la matematica, gli algoritmi, la musica, i dati e le informazioni rappresentate digitalmente; qualcosa che si trasforma in un universo in cui restare sospesi a galleggiare sulla rete di elementi che si muovono insieme, elastici e in un continuo processo di contrazione-espansione come un gruppo modulare di matrici. O Jeremy Shaw che racconta di un’umanità che tende a evolversi, a viaggiare verso una nuova fase. È come sciogliersi, come se l’intero cervello e il corpo esplodessero, o forse implodessero in una sorta di metallo liquido, che diventa parte del tutto. Le orecchie e poi dappertutto, come un ronzio che ti entra dentro e finisce nelle vene e poi tutto si apre e resta solo il ronzio. Una fusione metallica, un vibrante ronzio, dappertutto.
La prima di servizio di Nadal si ferma in rete. Sulla seconda, Federer si sposta con il corpo completamente in corridoio. La precisione geometrica con cui occupa quello spazio non è casuale. Fa ancora un passo laterale, il piede destro perpendicolare alla linea di fondo, il tallone in corrispondenza esatta con l’angolo. Carica il dritto. Forte e centrale. Nadal può solo andare a pescare la palla all’altezza dei piedi e rimetterla in campo. Federer corre sulla linea di fondo, si sposta un metro lontano dal campo e colpisce con un dritto lungolinea. Nadal riesce a incrociare ancora con il dritto. Da quella posizione, Federer copre il campo per intero. Ha almeno tre opzioni, sceglie la più difficile. Il rovescio a una mano lungolinea non permette a Nadal neanche di sfiorare la palla. 30-30. Il pubblico rumoreggia. È uno dei “Momenti Federer”.7
«La misurazione della velocità di rotazione, partendo da un video ripreso con una camera ad alta velocità, è piuttosto semplice. L’asse di rotazione rimane fisso mentre la palla si muove verso la rete, quindi il tempo necessario per compiere un giro completo può essere misurato in termini di fotogrammi necessari per vedere riapparire un segno o un pattern sulla palla con lo stesso orientamento. Durante le riprese a 600 frame per secondo, il segno è riapparso dopo circa 8-10 fotogrammi, quindi dopo 8/600 o 10/600 di secondo, con una velocità di rotazione di 60-75 giri al secondo o 3600-4500 giri al minuto.8»
Secondo Bill Viola allargare il tempo amplifica le emozioni; ci permette di entrare in un regno che non è quello quotidiano. È per questo che i suoi video sono al rallentatore. Rallentare è come anticipare quel secondo sguardo che apre la prospettiva della percezione a tutto quello che non era visibile prima. E se poi riguardiamo una seconda volta qualcosa che già abbiamo guardato al rallentatore, e magari lo rallentiamo ancora, lo riguardiamo, lo rallentiamo e lo riguardiamo, ecco che la percezione si espande fino a muoversi verso un altro livello di coscienza, uno stato che potrebbe permettere di guardare senza più neanche una interferenza di sottofondo che riguardi il gioco, le sue regole, i punteggi e le statistiche. Mi rendo conto di quanto sia importante rallentare mentre rileggo gli appunti che ho preso durante la registrazione della semifinale di Wimbledon. La concentrazione era sullo scambio, una cronaca di quello che stavo vedendo, indirizzata dalle dinamiche di un gioco che in fondo neanche mi interessa. Ci vuole disciplina per guardare una partita di tennis senza pensare al tennis. Disciplina e distacco. Ho bisogno di guardare Roger Federer come Bill Viola guarda il Pontormo. Devo studiare un suo movimento fino a quando non avrò più bisogno di guardarlo ancora, quando mi basterà chiudere gli occhi mentre attraverso la strada; e poi neanche ci sarà più bisogno di chiuderli perché le informazioni correranno in background, luccicanti. È un lavoro a tempo pieno, e io comunque agli hobby non ci ho mai creduto. Le cose si fanno dalla mattina alla sera, pensandoci dalla mattina alla sera. Altrimenti è meglio morire. Ho bisogno di uno spazio, una tana dove poter rallentare. Rallentare le immagini, i suoni, rallentare me stesso e il respiro. Fino a essere un movimento talmente lento da non essere più percepito.
«Se una palla di raggio r rotola su una superficie a velocità v, percorre una distanza = 2πr mentre ruota una volta attorno al suo asse in un tempo T. Dunque v = 2πr/T. Il tempo necessario per una rotazione è quindi T = 2πr /v. Il numero di rotazioni per secondo è f = 1/T = v/2πr. Per esempio, se r = 0.033 m (come per una palla da tennis) e v = 20 m/s, allora f = 96 rotazioni al secondo, cioè 5788 rotazioni al minuto.9»
L’Ascensione di Bill Viola si apre con acqua scura, attraversata da un fascio di luce. All’improvviso la calma viene interrotta dal tuffo di un uomo completamente vestito. Le braccia sono sollevate, la posizione è quella di una crocifissione. Il suono dell’immersione è una sequenza di esplosioni, un temporale. La luce che avvolge il corpo è un bagliore ultraterreno. È una ripresa che in tempo reale durerebbe pochi secondi; nel video di Viola il tempo viene dilatato, espanso, fino a toccare i dieci minuti. Ho la sensazione che sia comunque velocissima, che uno sguardo non basti, e che non ne bastino neanche due.
Cerco un’esperienza che sia davvero religiosa, devo rallentare più di così. Un rovescio a una mano dilatato verso l’infinito, l’attesa di un colpo che non arriva. Isolo il momento: dopo circa due ore e undici minuti di partita. Il piede destro di Federer sfiora il campo con la punta interna, mentre il piede sinistro è completamente a terra in coincidenza con la linea di fondo. Il rumore dilatato è una sequenza di esplosioni, un temporale. Il gomito sinistro è allineato all’anca, il ginocchio al calcio della racchetta. Da qui in avanti la percezione del movimento è un inganno. So che Federer si sta muovendo ma non riesco a vederlo. Chiudo gli occhi e rimango a galleggiare sulle esplosioni. Li riapro e qualcosa è successo: uno spostamento del gomito o forse uno spostamento di me. Come litio in stato di gas superfluido e ultrafreddo, esco dal mio stato di equilibrio e mi espando e mi contraggo in un movimento simile al respiro. Un’ascensione, un’esperienza religiosa. Formule, dati e statistiche piovono dall’alto, una cascata di tetramini. Mi tuffo nel gesto di Federer come l’uomo di Bill Viola nella sua Ascensione.
È come sciogliersi, come se l’intero cervello e il corpo esplodessero, o forse implodessero in una sorta di metallo liquido, che diventa parte del tutto. Le orecchie e poi dappertutto, come un ronzio che ti entra dentro e finisce nelle vene e poi tutto si apre e resta solo il ronzio. Una fusione metallica, un vibrante ronzio, dappertutto.
Un’altra crocifissione. Il mio invece è un respiro quantistico. Tutto è rallentato, dilatato, collegato. Il suo rovescio a una mano, il mio respiro, il sudore che resta fermo sulla fronte e sul naso. Chiudo gli occhi; formule e statistiche continuano a scorrermi addosso come una pelle d’oca. Il rumore del tennis mi perfora.
Quando l’esperienza religiosa finisce, mi sembra di sentire le unghie e i capelli che crescono, il corpo che invecchia. Sono in grado di avvertire ogni più piccolo mutamento. Non so quanto durerà, ma adesso sono padrone della lentezza.
«“Il teorema della racchetta da tennis”
Tieni una racchetta da tennis in posizione orizzontale, lanciala in aria in modo che ruoti una volta attorno ad un asse orizzontale e afferrala per l’impugnatura. La racchetta atterrerà sottosopra. L’effetto di capovolgimento è descritto dal teorema della racchetta da tennis.10 Ogni oggetto ha tre assi perpendicolari nelle direzioni x, y e z. In generale, il momento di inerzia (I) attorno a ciascun asse è diverso, con Ix > Iy > Iz. Se un oggetto inizia a ruotare attorno all’asse x o z, continuerà a ruotare attorno a quell’asse senza capovolgersi. Ma se inizia a ruotare attorno all’asse y, finirà per girare anche attorno agli assi x e z. È lo stesso con un libro o una scatola di cereali. Solo uno dei tre assi provoca il capovolgimento ed è quello non con il peso di oscillazione più piccolo o più grande, ma quello con il peso di oscillazione di valore medio. Capovolgere l’oggetto può essere una cosa buona o cattiva a seconda delle circostanze. Se consideriamo la racchetta come un gatto che cade da una finestra, questo effetto di rovesciamento fa bene al gatto. Se invece la consideriamo come una fetta di pane con la marmellata, l’effetto di ribaltamento è negativo, specialmente per il tappeto. Se sei un ginnasta, capovolgerti più volte mentre fai un salto può farti guadagnare punti extra. Se sei un giocatore di tennis invece, non c’è una risposta sempre valida: devi fare attenzione alla rotazione della racchetta nella mano mentre la fai oscillare, perché l’eventualità che si capovolga può essere positiva o negativa in base al risultato che vuoi ottenere.»
Aver guardato e ascoltato Federer al rallentatore mi ha capovolto. Non riesco a capire se sia una cosa buona o cattiva, ma lo ha fatto. Non sono più la stessa persona che ero, e non sarò più in grado di guardare una partita di tennis a velocità normale. Adesso che sono riuscito a gestire tutta quella lentezza, tornare indietro significherebbe sottopormi a una stimolazione eccessiva. Rileggo il Teorema della racchetta da tennis e smetto di cercare di capire se Rod Cross stia parlando sul serio oppure no. In mezzo a tutte le sue teorie, questa sembra uscita da un libro di curiosità per bambini. Quello che resta del tennis adesso è soltanto un’ascensione, l’esperienza religiosa di cui parlava David Foster Wallace e di cui nessun altro può permettersi di parlare. Quello che adesso resta del tennis e della sua fisica sono quei pochi secondi attraversati al rallentatore.
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Copertina di Etere
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Se anche tu hai un tuo racconto della notte scrivi a Federica Sabelli — racconti@dudemag.it
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1 String tension effects on tennis ball rebound speed and accuracy during playing conditions, di Rob Bower e Rod Cross (Journal of Sports Sciences, 2005)
2 The relationship between the coefficient of restitution and energy losses in tennis rackets, Herbert Hatze, 1993
3 The physics and technology of tennis, Howard Brody, Rod Cross, Crawford Lindsay, 2002
4 «Cos’è dunque infrasottile? È un neologismo che sembra indicare quei fenomeni ai limiti della percezione che mostrano il passaggio da uno stato a un altro. Alcuni esempi potrebbero essere il movimento, il vetro, la polvere, il fumo, l’ombra, il ritardo, l’anticipo. L’infrasottile espone le materie ma anche l’esperienza stessa ed è – fondamentale specificarlo – immanente al reale, in quanto interno alle forme del sensibile. » Giulia Gregnanin, Flash Art n. 341, agosto 2018, su Infrasottile di Elio Grazioli (Postmedia books, 2018)
5 Racquet power and the ideal racquet weight, Rod Cross, 2004
6 Physics of tennis, Rod Cross, 2002
7 «Quasi tutti gli amanti del tennis che seguono il circuito maschile in televisione hanno avuto, negli ultimi anni, quelli che si potrebbero definire «Momenti Federer». Certe volte, guardando il giovane svizzero giocare, spalanchi la bocca, strabuzzi gli occhi e ti lasci sfuggire versi che spingono tua moglie ad accorrere da un’altra stanza per controllare se stai bene. I Momenti sono tanto più intensi se un minimo di esperienza diretta del gioco ti permette di capire l’impossibilità di quello che gli hai visto fare.» David Foster Wallace, Federer come esperienza religiosa (Einaudi, 2012)
8 Physics of the tennis kick serve, Rod Cross, 2011
9 Bouncing balls, Rod Cross, 2006
10 The tennis racquet theorem, Rod Cross
